ЗАНЯТИЕ 8.
Повторение пройденного на уроке.
Аналитическое решение уравнений.
Задача на повторение #1.
Вы уже знаете, что уравнения используются в качестве функций задающих преобразования.
Например y= 3*x+20.
Кроме этого уравнением может называться равенство между двумя преобразованиями.
Например,
3*х= x +20
Т.е. уравнение- это, как и следует из самого названия, то что уравнивает выражение слева и
выражение стоящее справа.
Это может быть область значений функции (например, величина Y) приравниваемая к
выражению самой функции. И тогда мы задаем преобразование, как в случае с y= 3*x+20. В
этом случае переменная х любая произвольная величина из области определения функции.
Это могут быть два разных преобразования, задаваемых двумя разными функциями,
которые мы приравниваем друг к другу. Например, преобразования задаваемые функциями:
y= 3*x и y=x+20 . И тогда мы имеем уравнение 3*х= x +20, с помощью которого можно
найти те значения переменных, при которых эти преобразования одинаковы. В этом случае
переменная х может принимать только те значения областей определения функций стоящих
слева и справа , при которых это равенство верно. Например, решением уравнения 3*х= x
+20 будет х координата точки пересечения функции y= 3*x и функции y=x+20.
Дано:
Пусть даны два уравнения
y= 5*х +3
f= 2*x + 30
Требуется найти:
Требуется найти когда они равны. Т.е. требуется найти все х при которых f=y.
Решение:
Из прошлого задания вы уже знаете, что это решение можно найти с помощью графического
решения.
Другой способ найти то же самое решение (т.е. найти все х, при которых f=y) - это
аналитический. Решить уравнение аналитически означает найти решение с помощью анализа
уравнения. Практически это означает упрощение уравнений с помощью правильных
логических алгебраических действий. Что значит правильные? Что действия не меняют
соотношения между левой и правой стороной уравнения ( в нашем случае это равенство y =
f, но могло бы быть и неравенство. Например, условием могло бы быть найти х при которых
y>f . Или найти х при которых f<y), не вносят дополнительных решений и не приводят к
неправильным решениям.
Для наглядности, мы представляли уравнение f=y с помощью весов.
f y
Подставим вместо f и y их значения. Очевидно, что от этого равенство между правой и
левой стороной не изменится, и мы получим
5*х +3 = 2*x + 30
Или тоже самое в виде весов:
Для наглядности мы заменяли x на черные ящики. Тогда для нашего уравнения получится
такая картинка:
Чтобы решить это уравнение, мы говорили, что необходимо, чтобы все неизвестные х были
только на одной чаше весов. Как это сделать не изменив равенства между левой и правой
стороной? Для этого мы убирали с левой и правой стороны по 2*x. После этого получилось
уравнение :
5*x-2*x+3=2*x-2*x+30, что даёт уравнение
3*x +3 = 30
Напоминаю, что этот же результат мы получаем применив правило переноса через знак
равенства. Т.е. если возьмем исходное
5*x+3=2*x+30
Затем также вычтем справа и слева по 2*х:
5*x-2*x+3=2*x-2*x+30
Сократив справа 2*х-2*х , последнее можно переписать как
5*x-2*x+3=+30
Сравнив его с исходным, получим:
было стало
5*x+3=2*x+30 5*x-2*x+3=+30
Получилось, что мы перенесли 2*х с одной стороны на другую со знаком — (минус) и
5*x+3 2*x +30
+3 +30
равенство от этого не нарушилось. Из предыдущего задания, вы помните, мы говорили, что
это есть следствие общего правила. Любая функцию при переносе через знак равенства
меняется на свою обратную. Например, сейчас функция прибавления 2*х при переносе через
знак равенства заменилась на функцию вычитания: -2*х.
Итак мы получили:
5*x-2*x+3=+30
что очевидно даёт
3*х +3= 30
Теперь перенесем +3 на другую сторону (или что тоже самое, вычтем слева и справа по 3).
Получим:
3*х = 27
Слева у нас умножение на 3. Чтобы получить слева просто х, надо применить функцию
обратную умножению на 3. А чтобы равенство после этого не нарушилось, эту же обратную
функцию надо применить как слева, так и справа. Значит надо поделить на 3 и левую, и
правую части уравнения. Получим ответ:
x = 9
Т.е. при x=9 должно быть верно f=y.
Проверка
Проверим наш ответ. Для этого подставим 9 вместо х в исходное уравнение 5*x+3=2*x+30.
Получим :
5*9+3 = 48
2*9+ 30= 48
Действительно левая и правая стороны равны.
Ответ:
f=y при х=9
ЗАДАНИЕ НА ПЕРВУЮ НЕДЕЛЮ
С этой недели мы будем постоянно решать уравнения. Поэтому необходимо завести тетрадь в
клеточку и все аналитические и графические решения уравнений записывать в тетрадь. На
каждом занятии, ученики должны приносить эти тетради с выполненными домашними
работами ( вместе с компьютерами конечно) .
Правила оформления домашних задач по математике:
1. Сначала обязательно пишется Задача ## и ниже слева пишется
Дано:
и затем записывается условие задачи.
Затем пишется
Требуется найти:
И записывается, что надо найти в задаче
После чего пишется:
Решение
И приводится решение задачи. В конце решения пишется
Проверка
после чего приводится проверка решения.
В самом конце задачи пишется
Ответ
и приводится полученный ответ задачи
*************************
Примечание 1:
При решении писать надо кратко, только основное, минимум слов, но текст должен быть
понятен читающему. Например все решение предыдущей задачи может быть записано в
таком виде
Решение:
Если f=y, то
5*х +3 = 2*x + 30
Следовательно
5*х-2*х = 30-3
3*x = 27
Отсюда
х= 27/3=9
Примечание 2:
До конца этого учебного года графические решения будут выполнятся пока только на
компьютере в SpreadSheets , но в тетраде должно быть записано все остальное в соответствии
с указанными выше правилами, только в разделе «Решение» , вместо самого графического
решения должен приводится адрес файла с графическим решением.
**********************
Задача 1 (обязательная).
Даны два линейных уравнения
y=4*x + 5
j=x + 20
Построить их графики и найти координаты точки пересечения.
Придумайте задачу с этими уравнениями, и чтобы решением задачи была точка пересечения
этих прямых (в качестве подсказки смотрите задачу о Маше и Ване из прошлого задания).
Решить также эту задачу аналитически, и сравнить ответы полученные графически и
аналитически.
Задача 2 (обязательная).
Даны два линейных уравнения
y=5 - 4*х
j=x - 20
Построить их графики и найти координаты точки пересечения.
Придумайте задачу с этими уравнениями, и чтобы решением задачи была точка пересечения
этих прямых (задача аналогична предыдущей).
Решить также эту задачу аналитически, и сравнить ответы полученные графически и
аналитически.
Задача 3. Игра Противовоздушная Оборона (ПВО) (обязательная)
Дано:
Луч лазера задан уравнением Y= 2*(Х+ b) ,
где b некоторый коэффициент, который надо найти, чтобы попасть в цель (для начала
задайте его равным нулю: b= 0 )
Координаты цели (0 , 6).
Постройте графики луча лазера , с областью определения Х от 0 до 20 (в дальнейшем это
будем записывать в виде X = [0 ; 20] ) и цели на новом листе в SpreadSheets, аналогично тому,
как мы делали в классе.
Требуется найти:
A) Не меняя коэффициента 2 при Х, подобрать коэффициент b , так чтобы луч лазера прошел
через цель, с координатами:
А.1) (0, 6)
А.2) (0, 8)
А.3) (0, 10)
А.4) (6, 0)
А.5) (8, 0)
А.6) (10, 0)
B) Основываясь на результатах заданий А.1, А.2 и А.3 Сформулируйте правило по которому
надо подбирать коэффициент b, если координата цели (0, M), где М некоторое число.
Г) Сформулируйте теперь правило по которому надо подбирать коэффициент b, если
координата цели (N, 0)), где N некоторое число, и использую результаты заданий А.4, А.5 и
А.6.
Д) Эти правила можно найти аналитически. Для этого надо подставить значения точек в
уравнение луча лазера (ведь лазер должен пройти через точки цели. Следовательно точка
цели должна описываться как и любая другая точка луча лазера с помощью уравнения Y=
2*(Х+ b) ). Например для точки (0, М) получим М=2*(0+ b). Найдем теперь b:
M= 2*b, следовательно
b= M/2
Аналогично, сами найдите b для координат цели (N, 0).
Задача 4. (обязательная)
При каких значениях коэффициента А, у уравнения
4*x +10= A*x
не будет решения. Объясните почему.
Повторение пройденного на уроке.
Аналитическое решение уравнений.
Задача на повторение #1.
Вы уже знаете, что уравнения используются в качестве функций задающих преобразования.
Например y= 3*x+20.
Кроме этого уравнением может называться равенство между двумя преобразованиями.
Например,
3*х= x +20
Т.е. уравнение- это, как и следует из самого названия, то что уравнивает выражение слева и
выражение стоящее справа.
Это может быть область значений функции (например, величина Y) приравниваемая к
выражению самой функции. И тогда мы задаем преобразование, как в случае с y= 3*x+20. В
этом случае переменная х любая произвольная величина из области определения функции.
Это могут быть два разных преобразования, задаваемых двумя разными функциями,
которые мы приравниваем друг к другу. Например, преобразования задаваемые функциями:
y= 3*x и y=x+20 . И тогда мы имеем уравнение 3*х= x +20, с помощью которого можно
найти те значения переменных, при которых эти преобразования одинаковы. В этом случае
переменная х может принимать только те значения областей определения функций стоящих
слева и справа , при которых это равенство верно. Например, решением уравнения 3*х= x
+20 будет х координата точки пересечения функции y= 3*x и функции y=x+20.
Дано:
Пусть даны два уравнения
y= 5*х +3
f= 2*x + 30
Требуется найти:
Требуется найти когда они равны. Т.е. требуется найти все х при которых f=y.
Решение:
Из прошлого задания вы уже знаете, что это решение можно найти с помощью графического
решения.
Другой способ найти то же самое решение (т.е. найти все х, при которых f=y) - это
аналитический. Решить уравнение аналитически означает найти решение с помощью анализа
уравнения. Практически это означает упрощение уравнений с помощью правильных
логических алгебраических действий. Что значит правильные? Что действия не меняют
соотношения между левой и правой стороной уравнения ( в нашем случае это равенство y =
f, но могло бы быть и неравенство. Например, условием могло бы быть найти х при которых
y>f . Или найти х при которых f<y), не вносят дополнительных решений и не приводят к
неправильным решениям.
Для наглядности, мы представляли уравнение f=y с помощью весов.
f y
Подставим вместо f и y их значения. Очевидно, что от этого равенство между правой и
левой стороной не изменится, и мы получим
5*х +3 = 2*x + 30
Или тоже самое в виде весов:
Для наглядности мы заменяли x на черные ящики. Тогда для нашего уравнения получится
такая картинка:
Чтобы решить это уравнение, мы говорили, что необходимо, чтобы все неизвестные х были
только на одной чаше весов. Как это сделать не изменив равенства между левой и правой
стороной? Для этого мы убирали с левой и правой стороны по 2*x. После этого получилось
уравнение :
5*x-2*x+3=2*x-2*x+30, что даёт уравнение
3*x +3 = 30
Напоминаю, что этот же результат мы получаем применив правило переноса через знак
равенства. Т.е. если возьмем исходное
5*x+3=2*x+30
Затем также вычтем справа и слева по 2*х:
5*x-2*x+3=2*x-2*x+30
Сократив справа 2*х-2*х , последнее можно переписать как
5*x-2*x+3=+30
Сравнив его с исходным, получим:
было стало
5*x+3=2*x+30 5*x-2*x+3=+30
Получилось, что мы перенесли 2*х с одной стороны на другую со знаком — (минус) и
5*x+3 2*x +30
+3 +30
равенство от этого не нарушилось. Из предыдущего задания, вы помните, мы говорили, что
это есть следствие общего правила. Любая функцию при переносе через знак равенства
меняется на свою обратную. Например, сейчас функция прибавления 2*х при переносе через
знак равенства заменилась на функцию вычитания: -2*х.
Итак мы получили:
5*x-2*x+3=+30
что очевидно даёт
3*х +3= 30
Теперь перенесем +3 на другую сторону (или что тоже самое, вычтем слева и справа по 3).
Получим:
3*х = 27
Слева у нас умножение на 3. Чтобы получить слева просто х, надо применить функцию
обратную умножению на 3. А чтобы равенство после этого не нарушилось, эту же обратную
функцию надо применить как слева, так и справа. Значит надо поделить на 3 и левую, и
правую части уравнения. Получим ответ:
x = 9
Т.е. при x=9 должно быть верно f=y.
Проверка
Проверим наш ответ. Для этого подставим 9 вместо х в исходное уравнение 5*x+3=2*x+30.
Получим :
5*9+3 = 48
2*9+ 30= 48
Действительно левая и правая стороны равны.
Ответ:
f=y при х=9
ЗАДАНИЕ НА ПЕРВУЮ НЕДЕЛЮ
С этой недели мы будем постоянно решать уравнения. Поэтому необходимо завести тетрадь в
клеточку и все аналитические и графические решения уравнений записывать в тетрадь. На
каждом занятии, ученики должны приносить эти тетради с выполненными домашними
работами ( вместе с компьютерами конечно) .
Правила оформления домашних задач по математике:
1. Сначала обязательно пишется Задача ## и ниже слева пишется
Дано:
и затем записывается условие задачи.
Затем пишется
Требуется найти:
И записывается, что надо найти в задаче
После чего пишется:
Решение
И приводится решение задачи. В конце решения пишется
Проверка
после чего приводится проверка решения.
В самом конце задачи пишется
Ответ
и приводится полученный ответ задачи
*************************
Примечание 1:
При решении писать надо кратко, только основное, минимум слов, но текст должен быть
понятен читающему. Например все решение предыдущей задачи может быть записано в
таком виде
Решение:
Если f=y, то
5*х +3 = 2*x + 30
Следовательно
5*х-2*х = 30-3
3*x = 27
Отсюда
х= 27/3=9
Примечание 2:
До конца этого учебного года графические решения будут выполнятся пока только на
компьютере в SpreadSheets , но в тетраде должно быть записано все остальное в соответствии
с указанными выше правилами, только в разделе «Решение» , вместо самого графического
решения должен приводится адрес файла с графическим решением.
**********************
Задача 1 (обязательная).
Даны два линейных уравнения
y=4*x + 5
j=x + 20
Построить их графики и найти координаты точки пересечения.
Придумайте задачу с этими уравнениями, и чтобы решением задачи была точка пересечения
этих прямых (в качестве подсказки смотрите задачу о Маше и Ване из прошлого задания).
Решить также эту задачу аналитически, и сравнить ответы полученные графически и
аналитически.
Задача 2 (обязательная).
Даны два линейных уравнения
y=5 - 4*х
j=x - 20
Построить их графики и найти координаты точки пересечения.
Придумайте задачу с этими уравнениями, и чтобы решением задачи была точка пересечения
этих прямых (задача аналогична предыдущей).
Решить также эту задачу аналитически, и сравнить ответы полученные графически и
аналитически.
Задача 3. Игра Противовоздушная Оборона (ПВО) (обязательная)
Дано:
Луч лазера задан уравнением Y= 2*(Х+ b) ,
где b некоторый коэффициент, который надо найти, чтобы попасть в цель (для начала
задайте его равным нулю: b= 0 )
Координаты цели (0 , 6).
Постройте графики луча лазера , с областью определения Х от 0 до 20 (в дальнейшем это
будем записывать в виде X = [0 ; 20] ) и цели на новом листе в SpreadSheets, аналогично тому,
как мы делали в классе.
Требуется найти:
A) Не меняя коэффициента 2 при Х, подобрать коэффициент b , так чтобы луч лазера прошел
через цель, с координатами:
А.1) (0, 6)
А.2) (0, 8)
А.3) (0, 10)
А.4) (6, 0)
А.5) (8, 0)
А.6) (10, 0)
B) Основываясь на результатах заданий А.1, А.2 и А.3 Сформулируйте правило по которому
надо подбирать коэффициент b, если координата цели (0, M), где М некоторое число.
Г) Сформулируйте теперь правило по которому надо подбирать коэффициент b, если
координата цели (N, 0)), где N некоторое число, и использую результаты заданий А.4, А.5 и
А.6.
Д) Эти правила можно найти аналитически. Для этого надо подставить значения точек в
уравнение луча лазера (ведь лазер должен пройти через точки цели. Следовательно точка
цели должна описываться как и любая другая точка луча лазера с помощью уравнения Y=
2*(Х+ b) ). Например для точки (0, М) получим М=2*(0+ b). Найдем теперь b:
M= 2*b, следовательно
b= M/2
Аналогично, сами найдите b для координат цели (N, 0).
Задача 4. (обязательная)
При каких значениях коэффициента А, у уравнения
4*x +10= A*x
не будет решения. Объясните почему.