Занятие 2, вторая неделя по программе второго года обучения
Итак вы знаете, что такое материальная точка, центр масс и как вычислить центр масс.
Посмотрим теперь на следующий опыт.
Легкий пластиковый стаканчик с увеличением его массыстановится все более инертным (Видео 1а). Его все сложнеепереместить в горизонтальной плоскости. Инерционность телозначает, что они не могут мгновенно менять свою скорость. Этимсвойством они обладают потому, что у них есть масса. Чембольше масса, тем больше инерционность. В то же времястаканчик и коробочки падают вниз, несмотря на то, что ониинерционны (Видео 1а и 1б). Очевидно причина такого разногоповедения в величине силы, которую мы прикладываем в этихслучаях в горизонтальном и вертикальном направлениях. Мыможем предположить, что сила трения, которая двигает теловдоль горизонтальной плоскости меньше силы притяжения состороны Земли, которая двигает тело вниз.
Видео 1а
Видео 1б
Видео 1. Влияние инерционности тел, силы трения и силыпритяжения Земли: а) инерционность тел растет с ростом ихмассы; б) несмотря на инерционность коробочек, они достаточнобыстро ускоряются вниз, если опора убрана.
Рассмотрим теперь второй опыт, движение пластмассовойтележки с грузом под действием постоянной силы. Меняяколичество грузил, мы меняем массу тележки. Сила действующаяна тележку определяется натяжением лески, прикрепленной ктележке. В свою очередь натяжение лески определяется весомгруза подвешенного на другом её конце. В нашем опыте этот грузоставался неизменным, поэтому и сила ускоряющая тележку былавсегда одной и той же.
Видео 2
Видео 2. Влияние массы тел на ускорение, приобретаемое телом под действием одной и той же силы.
В опытах тележка с грузами меняла свое положение под действием силы, создаваемой весом груза. В начальный момент, когда мы убрали рейку из под её колеса, тележка покоилась. Еёскорость была равна 0 метров в секунду (т. е. она двигался на 0 сантиметров за секунду. Записывается как 0 см/сек). Но потом, под действием силы натяжения лески, она начинает набиратьскорость. Изменение скорости называется ускорением.
Математически ускорение записывается так: a= (v2-v1)/(t2-t1), гдеv2 и v1 -это скорости в момент времени t2 и t1. Словами этоможно сказать так: ускорение- это изменение скорости запромежуток времени делённое на этот промежуток времени. Изменение скорости- это v2-v1. Промежуток времени- это t2-t1. Врезультате деления мы получим изменение скорости заединичный промежуток времени. Например, за 4 секундымашина набрала скорость 80 км/час. Значит при таком разгонеона в среднем набирала 80 км/час /4 часа = 20 км/час за один часили 20км/(час*час).
При подсчете скоростей и промежутков времени, мы используемразмерности. Размерность любой физической величины- это тофизическое свойство, которое эта величина характеризует. Например, у расстояния размерность длина, у времени- время. Существуют основные размерности: длина, масса, время. Мытакже отнесем к ним и температуру. Кроме них есть физическиевеличины, чьи размерности получаются из основных.
Например, найдем размерность площади плоской фигуры. Независимо от того, возьмем мы большую фигуру или самыймаленький квадрат, или мы сложим/объединим две плоскиефигуры, их размерность должна быть одной и той же. И онадолжна характеризовать суть площади. Суть же площади состоитв том, что мы определяем, сколько квадратов с единичнымразмером может поместиться в данной плоской фигуре. Площадьквадрата равна произведению длин его сторон. Следовательно, его размерность должна быть длина в квадрате: LxL или L2. Нотогда размерность любой другой фигуры должна быть тоже L2, поскольку её площадь получается сложением площадеймаленьких квадратов, а размерность при сложении фигур неменяется.
К величинам, чьи размерности получаются из основных, относятсятакже скорость и ускорение. Скорость- это расстояние пройденноеза единицу времени. Чтобы её найти, надо расстояние, пройденное за время t, поделить на это время. Поэтому еёразмерность- длина деленная на время: L/t.
Физические свойства величин характеризуются с помощьюразмерностей. Но для того, чтобы измерить величины ивычислять их значения нужны конкретные единицы измерения. Существует огромное количество самых разных физическихвеличин. Возникает вопрос- какие единицы измерения надоиспользовать для них? Что, для каждой новой физическойвеличины надо придумывать свою единицу измерения? А этозначит надо создавать новый стандарт для каждой новойединицы измерения. Хранить его, изготавливать и рассылать всемего копии. К счастью, размерность и единицы измерения любой физической величины взаимосвязаны. Единица измеренияфизической величины всего лишь запись размерности величины сиспользованием выбранных единиц измерения. Зная единицыизмерения размерностей основных величин и размерность самойвеличины, не сложно вычислить её единицы измерения.
Например, размерность скорости длина деленная на время (L/t). Соответственно, единицей измерения скорости можно взять км/час, см/сек, км/см и так далее.
Поэтому можно ограничиться стандартами мер только дляосновных размерностей : длины, массы, времени, градуса. Ведьостальные размерности можно вывести из них. Но для этого надоуметь вычислять размерности физических величин. А для этогодолжна существовать теория описывающая свойства этихфизических величин. Т.е. размерность физических величин ифизические законы тоже взаимосвязаны.
Самое удивительное в этом то, что требуется знание тольконескольких основных физических свойств, чтобы описать всеизвестные нам явления. Например, свойство тел при нагревеменять свои размеры характеризуется размерностью длинаделенная на температуру : L/T. Поэтому достаточно замеритьизменение размеров тела при изменении температуры. Обычнопри небольшом изменении температур, график этой зависимостиблизок к прямой линии, и зависимость называется линейной(помните, мы с вами проходили такие преобразования). Иначеговоря длина тела меняется пропорционально изменению еготемпературы. В таком случае расширение тел описываетсялинейным уравнением с постоянным коэффициентом тепловогорасширения (он является коэффициентом пропорциональности), сразмерностью L/T. Для большинства известных материалов такиекоэффициенты измерены и их можно найти в справочниках.
Посмотрим , как вычисляется ускорение. Расстояние измеряется вкилометрах, метрах, сантиметрах, миллиметрах и так далее. Допустим мы выбрали сантиметры. Следовательно размерностьрасстояния, длина, у нас будет записываться в сантиметрах. Времяможет измеряться в часах, минутах, секундах. Пусть мы сталииспользовать секунды. Тогда размерность скорости, длина/время, в нашем случае запишем, как сантиметр в секунду: см/сек. Например, наблюдаемая тележка в начальный момент времениt1=0 sec имела скорость 0 см/сек. Предположим она ускориласьдо скорости v2= 6см/сек к моменту времени t2= 2 сек. Значит еёускорение было a= (v2-v1)/(t2-t1)= (6см/сек-0см/сек)/(2сек-0сек)= 6 см/сек / 2 см/сек = 6/2 см/(сек*сек)= 3 см/(сек*сек). Произведение сек*сек это секунда в квадрате: сек2. Соответственно ускорение можно записать так: а= 3 см/сек2, илииспользуя обозначения Basic, a = 3 см/сек^2.
Как мы уже много раз говорили, запись физической величинывсегда состоит из двух частей. Первая- это число. Вторая- размерность, точнее единица измерения представляющаяразмерность этой физической величины. Единицами измерениямогут быть километры, метры, секунды, градусы и т.д.. Условно, физические величины можно представлять, как произведениечисла на размерность, а конкретнее, числа на единицу измеренияразмерности. Но знак умножения при этом умалчивается. Поэтому когда мы делим одну физическую величину на другую, томы делим не только числа, а всё произведение числа наразмерность на другое число, и на его размерность. Аналогичнопри произведении физических чисел перемножаются сами числаи их размерности. При сложении или вычитании двух физическихвеличин, их размерности должны быть одинаковыми. Ведь мыможем складывать и вычитать яблоки только из яблок, но неяблоки из апельсин. Согласно правилу дистрибутивногоумножения, размерность можно вынести за скобку. Например, машина проехала сначала 10 км, а затем ещё 3 км. Полныйпройденный путь равен 10км +3км = (10+3)км= 13км.
Поскольку размерность в каждом конкретном измерениизаписывается с помощью единиц измерения, часто эти понятия неразличают, но всегда помнят, что у одной и той же размерностиможет быть много разных единиц измерения. Например уразмерности «длина» единицами измерения могут бытькилометры, метры, сантиметры, миллиметры, микрометры илимикроны, нанометры., Ангстремы. И поэтому, когда говорят илипишут, что размерность величины равна сантиметру, подразумевается, что на самом деле её размерность- длина.
Задача 1.
В примере на вычисление ускорения, мы использовали единицыизмерений сантиметры и секунды. А какая величина ускорения, размерность и единицы измерения будут в случае, если мы применим миллиметры и секунды (в этом случае у нас будут скорости v1= 0мм/сек и v2= 60мм/сек)?
Из опытов на видео 1, и нашего повседневного опыта для нас очевидно, что ускорение a растет пропорционально силе F, с которой мы действуем на тело. Т.е. чем больше сила, тем больше ускорение. Из видео 1 и 2б можно предположить, что чем больше масса, тем меньше ускорение a. В таком случае говорят, что ускорение обратно пропорционально массе тела m. Эти два утверждения можно записать математически как
a= F/m .
Отсюда получаем
F= m*a .
Это уравнение называется законом Ньютона.
Когда вы играли в «гонки» на клетчатой бумаге, то скорость вашего автомобиля обозначалась вектором. Как помните у каждого такого вектора есть начало, длина равная величине скорости и направление в котором этот вектор откладывается. Поэтому используется стрелочка, которая указывает это направление движения. В жизни скорость любого предмета тоже вектор. Т.е. скорость говорит нам не только сколько метров мы проехали за секунду, или километров за час, но еще указывает направление, в котором мы ехали. Поэтому правильно записывать скорость как вектор v (из-за особенностей редактора форума, вектора будут обозначаться красными буквами, как v ). Время неявляется вектором, поскольку у него нет направления движения впространстве. Говорят, что время скалярная величина. Обратитевнимание, что когда Вы едите в машине, то спидометрпоказывает только величину Вашей скорости. Направлениедвижение Вы определяете сами. Ускорение является разницей двух векторов. Значит оно тоже вектор: a= (v2-v1)/(t2-t1).
Что такое вектор? Сделаем небольшое путешествие в страну Геометрию, а заодно вспомним игру «Гонки» на клетчатой бумаге. Вы уже знакомы с векторами. Вы их использовали в этой игре. Там скорость машин — это вектора.
Складываются и вычитаются вектора очень просто. Например, для сложения двух векторов b и c надо поступать так же, как это делается в «Гонках». Сначала, из выбранной начальной точки движения ( назовем её точка А) отложим вектор b . Затем из конца вектора b отложим вектор c (Рис.3а). Точку в которуюпопадает конец вектора c назовем т.С . Тогда суммарное перемещение очевидно будет вектором AC . Поэтому AC = b + c . Обратите внимание AC = b + c = c + b . Если мы построим b + c и c + b то получим параллелограмм ABCD (Рис.3б).
Поэтому говорят, что для того чтобы найти сумму двух векторов надо пользоваться правилом параллелограмма. Чтобы неперепутать, какая из двух диагоналей параллелограмма есть сумма , нужно заметить, что все три вектора b , c и AC на рисунке 3б исходят из одной и той же точки. Верно и обратное. Любой вектор можно представить в виде суммы двух векторов. Для этогонадо только нарисовать параллелограмм с диагональю равной вектору. Тогда стороны будут те два вектора, которые в суммедадут исходный.
Рис.3. Нахождение суммы и разницы двух векторов: а) AC = b + c ; б) сумма AC = b + c = c + b представленапараллелограммом ABCD ; в) AF= b - c ; г) DB = b - c = AF .
Для того чтобы найти разницу двух векторов b - c , надо сначаланайти вектор - c . Очевидно, что его длина (модуль) должна бытьравна вектору c , а вот направление должно противоположным, ведь должно быть c +(- c ) = 0. Построив вектор - c , найдем теперь его сумму с вектором - b : b + (- c ) = b - c = AF. (Рис.3 с). Этот же результат мы можем получить если построим опять параллелограмм ABCD, но вместо вектора c , возьмём вектор - c . Тогда b + (- c ) = b - c = DB. Т.е. если вектор-диагональ AC был вектором суммы векторов b + c , то другая диагональ AF того же параллелограмма ABCD есть разница b - c (Рис. 3d). Примечание: DB = AF, так как двавектора называются одинаковыми, если их длины равны, инаправления одинаковы.
Делить вектор на любое число очень просто. Например пусть нам дан вектор m и нам надо поделить его на 3. Тогда вектор последеления k = m /3 будет иметь тоже направление, что и вектор m , а его длина равна 1/3 от длины вектора m (Рис.4а). Аналогичностроится вектор полученный умножением на любое число. Например на Рис.4б построен вектор f , который в два разабольше вектора f = 2*m .
Теперь, если Вы знаете скорости v2 и v1 в моменты времени t2 иt1, то можете легко найти и ускорение a пользуясь формулой a= (v2-v1)/(t2-t1).
Рис.4. а) k =AK = AM/3= m /3 ; б) f = AF = 2* AM = 2*m .
Итак, сила, скорость, и ускорение это векторные величины.
Вы также знаете, что сила, действующая на тело , масса тела и ускорение, которое тело приобретает в результате действия силы связаны законом Ньютона:
F= m*a
То же самое уравнение можно переписать в другом, более общемвиде:
F= m*a=m* (v2-v1)/(t2-t1)=(m*v2 - m*v1)/(t2-t1)
Существуют разные силы: гравитационные, например сила притяжения Земли, электрические, магнитные, силы упругости, силы трения и т. д.. Наше знакомство с ними мы начнем с гравитационной. Что такое гравитационные силы? Оказывается, любые два тела имеющие хоть какую массу притягиваются друг кдругу с силой, которая прямо пропорциональна массе каждого из тел. Эта сила называется гравитационной. Ещё гравитационная сила зависит от расстояния между телами. Обозначим это расстояние переменной r. Гравитационная сила убывает с ростом расстояния между телами как (1/r)*(1/r) = 1/r2 . Для того чтобы мы смогли почувствовать эту силу надо, чтобы одно из тел имелоочень большую массу, хотя бы близкую к массе Луны (масса Луны около 7*1023 кг ( в обозначениях Basic это записывается как 7Е23 кг или 7*10^23 кг) и мы находились на поверхности этого тела, т. е. расстояние между нами было бы минимально возможным.
Если бы тело было материальной точкой, то и в этом случае при расстоянии до неё в 1 метр (приблизительно на расстоянии вытянутой руки) её масса должна была бы быть порядка 1Е9 кг. Чтобы представить себе эту массу, надо взять двадцать стальных мостов, таких как самый тяжелый мост в мире, австралийский Sydney Harbour Bridge. И затем их надо спрессовать в шарик диаметром не более 1м. На этом фото он был бы трудно различимой точкой, размером раза в два меньше высоты окон в зданиях.
Рис.5. Австралийский Сидней и самый большой в мире стальноймост Sydney Harbour Bridge.
Тел с такой плотностью вокруг нас нет (плотностью вещества называется масса вещества взятого в виде кубика с сторонами единичной длины. Например, масса кубика с стороной в 1метр. При этом массу обычно меряют в кг. Если бы взяли кубик с сторонами в 1 см, то тогда его массу лучше мерить в граммах). Поэтому все тела вокруг нас с огромной массой имеют огромные размеры.
Ближайшие тела вокруг нас подходящие для того, чтобы обнаружить гравитационную силу - наша Земля, Луна, и Солнце. При этом влияние Земли на нас значительно превышает влияниеЛуны. Влияние Луны сказывается на морских приливах и отливах, потому что масса воды в океанах много больше нашей. Но для нас сила притяжения Луны не существенна из-за огромного расстояния (около 3.8Е8м) между нами. Для взрослого человека сила притяжения со стороны Луны около 0.3 грамма. Влияние Солнце ещё меньше по двум причинам. Во-первых оно очень далеко от нас (1.5Е11 м или около 400 расстояний от Земли до Луны), а гравитационная сила быстро уменьшается с ростом расстояния. Но из-за огромной массы Солнца (почти 333 тысячмасс Земли), оно все равно притягивает нас. На взрослого человека это действовало бы с силой равной весу 60 грамм. Но мы не чувствуем и этого из-за второй причины. Вторая причина- Земля и мы вместе с ней вращаемся очень быстро вокруг Солнца(30 км/сек много быстрее, чем скорости при запуске космическихракет ~8 км/сек). Для нас Солнце, как для космонавтов Земля. Земля притягивает космонавтов, но за счет быстрого вращениявокруг Земли, на них действует центробежная сила, как на бельёв быстро вращающейся центрифуге сушильной машины. Эти две силы уравновешивают друг друга, и космонавты ощущают невесомость. Разница между нами и космонавтами вращающимися вокруг Земли, только в том, что скорость нашего вращения еще больше. И если бы не притяжение Земли, т. е. если бы не было Земли, а наша скорость вращения оставалась прежней, то мы бы улетели от Солнца, как кометы. Земля же неулетает от Солнца, поскольку её масса много больше нашей. Соответственно и сила притяжения между Солнцем и Землейдостаточно огромна, чтобы удерживать Землю, и нас вместе сней, вокруг Солнца.
Познакомимся поподробнее с главной для нас гравитационной силой - с силой притяжения Земли. Из её названия следует, что сэтой силой притягиваются все тела к Земле. Записывается она так:
F= m*g
Из формулы видно, чтобы вычислить силу притяжения, надо знатьмассу тела и ускорение g. Оказывается, что ускорение g независит от массы тела, и его величина вблизи поверхности Землиравно всегда 9.8 м/сек2. Чтобы убедится в этом посмотрим скакой скоростью падают тела разной массы, при условии чтосилой трения о воздух можно пренебречь:
Видео 6
Видео 6. Падение тел разной массы. Видео 6а-6i демонстрируетразницу масс деревянного и свинцового груза. Видео 6jпоказывает свободное падение грузов с разной массой.
Таким образом, зная массу тел, мы всегда можем вычислить силупритяжения Земли действующую на тело. Но верно и обратное: знаю силу притяжения, можно найти массу тела.
Но как померить силу притяжения Земли?
По влиянию оказываемому силой притяжения на опоры иподвесы. Именно на этом принципе построены все весы. Рассмотрим сначала простые рычажные весы:
Рис. 6. Рычажные весы
Из правила Архимеда, мы знаем, что в случае равновесия:
m1*r1= m2*r2
Домножим обе стороны уравнения на g. Получим
m1*r1*g= m2*r2* g
m*g это сила притяжения Земли. Следовательно можно записать
r1*F1= r2* F2
Это уравнение ещё называют уравнением рычага, илиуравнением Архимеда для рычага. Мы пока его вывели толькодля случая, когда сила направлена перпендикулярно к рычагу. Происхождение силы здесь не важно. Это может быть и сила, которую прикладываете вы, или какой-нибудь механизм. Но покабудем говорить о силе притяжения.
Напомню, что из равенства
m1*r1= m2*r2
в случае r1= r2, получим
m1= m2
Это известное уравнение, которое используется для измерениямассы тел путем сравнения его с массой эталона. Аналогичнымобразом , только из уравнения
r1*F1= r2* F2
при равенстве рычагов r1 и r2 следует равенство сил F1= F2, чтоможно использовать для сравнения сил между собой.
Сила, с которой тело действует на опору или подвес за счет силы тяжести, называется весом и обычно обозначается вектором P. Тело в невесомости имеет массу, но не имеет веса. Т.е. оно недавит на опору или подвес.
Обратите внимание на проекции сил на оси ОХ и ОY (Рис.6).Поскольку силы притяжения направлены вдоль вертикали, то проекция их на ось ОХ будет точка. Как мы знаем длина точки равна 0. Поэтому проекции сил тяжести F на ось ОХ в обоихслучаях равны 0:
F1х = 0
F2х = 0
В тоже время проекции на OY будут векторы равные самимсилам:
F1y = m1*g=F1
F2y = m2*g =F2
В случае, если бы сила притяжения не была параллельна оси ОYи ОХ, мы бы имели две не равные нулю проекции силы тяжестина оси OX и OY. Но в любом случае было бы
F = Fх + Fy
Это является следствием разложения сил по правилампараллелограмма. Только в случае Декартовых координат, параллелограмм будет прямоугольником. Мы будем частопользоваться таким разложением.
Задача 2 (обязательная).
С помощью Видео 2 определите ускорения в трех случаях. Для замедленной съёмки время в видео в 4 раза меньше реального времени.
Итак вы знаете, что такое материальная точка, центр масс и как вычислить центр масс.
Посмотрим теперь на следующий опыт.
Легкий пластиковый стаканчик с увеличением его массыстановится все более инертным (Видео 1а). Его все сложнеепереместить в горизонтальной плоскости. Инерционность телозначает, что они не могут мгновенно менять свою скорость. Этимсвойством они обладают потому, что у них есть масса. Чембольше масса, тем больше инерционность. В то же времястаканчик и коробочки падают вниз, несмотря на то, что ониинерционны (Видео 1а и 1б). Очевидно причина такого разногоповедения в величине силы, которую мы прикладываем в этихслучаях в горизонтальном и вертикальном направлениях. Мыможем предположить, что сила трения, которая двигает теловдоль горизонтальной плоскости меньше силы притяжения состороны Земли, которая двигает тело вниз.
Видео 1а
Видео 1б
Видео 1. Влияние инерционности тел, силы трения и силыпритяжения Земли: а) инерционность тел растет с ростом ихмассы; б) несмотря на инерционность коробочек, они достаточнобыстро ускоряются вниз, если опора убрана.
Рассмотрим теперь второй опыт, движение пластмассовойтележки с грузом под действием постоянной силы. Меняяколичество грузил, мы меняем массу тележки. Сила действующаяна тележку определяется натяжением лески, прикрепленной ктележке. В свою очередь натяжение лески определяется весомгруза подвешенного на другом её конце. В нашем опыте этот грузоставался неизменным, поэтому и сила ускоряющая тележку былавсегда одной и той же.
Видео 2
Видео 2. Влияние массы тел на ускорение, приобретаемое телом под действием одной и той же силы.
В опытах тележка с грузами меняла свое положение под действием силы, создаваемой весом груза. В начальный момент, когда мы убрали рейку из под её колеса, тележка покоилась. Еёскорость была равна 0 метров в секунду (т. е. она двигался на 0 сантиметров за секунду. Записывается как 0 см/сек). Но потом, под действием силы натяжения лески, она начинает набиратьскорость. Изменение скорости называется ускорением.
Математически ускорение записывается так: a= (v2-v1)/(t2-t1), гдеv2 и v1 -это скорости в момент времени t2 и t1. Словами этоможно сказать так: ускорение- это изменение скорости запромежуток времени делённое на этот промежуток времени. Изменение скорости- это v2-v1. Промежуток времени- это t2-t1. Врезультате деления мы получим изменение скорости заединичный промежуток времени. Например, за 4 секундымашина набрала скорость 80 км/час. Значит при таком разгонеона в среднем набирала 80 км/час /4 часа = 20 км/час за один часили 20км/(час*час).
При подсчете скоростей и промежутков времени, мы используемразмерности. Размерность любой физической величины- это тофизическое свойство, которое эта величина характеризует. Например, у расстояния размерность длина, у времени- время. Существуют основные размерности: длина, масса, время. Мытакже отнесем к ним и температуру. Кроме них есть физическиевеличины, чьи размерности получаются из основных.
Например, найдем размерность площади плоской фигуры. Независимо от того, возьмем мы большую фигуру или самыймаленький квадрат, или мы сложим/объединим две плоскиефигуры, их размерность должна быть одной и той же. И онадолжна характеризовать суть площади. Суть же площади состоитв том, что мы определяем, сколько квадратов с единичнымразмером может поместиться в данной плоской фигуре. Площадьквадрата равна произведению длин его сторон. Следовательно, его размерность должна быть длина в квадрате: LxL или L2. Нотогда размерность любой другой фигуры должна быть тоже L2, поскольку её площадь получается сложением площадеймаленьких квадратов, а размерность при сложении фигур неменяется.
К величинам, чьи размерности получаются из основных, относятсятакже скорость и ускорение. Скорость- это расстояние пройденноеза единицу времени. Чтобы её найти, надо расстояние, пройденное за время t, поделить на это время. Поэтому еёразмерность- длина деленная на время: L/t.
Физические свойства величин характеризуются с помощьюразмерностей. Но для того, чтобы измерить величины ивычислять их значения нужны конкретные единицы измерения. Существует огромное количество самых разных физическихвеличин. Возникает вопрос- какие единицы измерения надоиспользовать для них? Что, для каждой новой физическойвеличины надо придумывать свою единицу измерения? А этозначит надо создавать новый стандарт для каждой новойединицы измерения. Хранить его, изготавливать и рассылать всемего копии. К счастью, размерность и единицы измерения любой физической величины взаимосвязаны. Единица измеренияфизической величины всего лишь запись размерности величины сиспользованием выбранных единиц измерения. Зная единицыизмерения размерностей основных величин и размерность самойвеличины, не сложно вычислить её единицы измерения.
Например, размерность скорости длина деленная на время (L/t). Соответственно, единицей измерения скорости можно взять км/час, см/сек, км/см и так далее.
Поэтому можно ограничиться стандартами мер только дляосновных размерностей : длины, массы, времени, градуса. Ведьостальные размерности можно вывести из них. Но для этого надоуметь вычислять размерности физических величин. А для этогодолжна существовать теория описывающая свойства этихфизических величин. Т.е. размерность физических величин ифизические законы тоже взаимосвязаны.
Самое удивительное в этом то, что требуется знание тольконескольких основных физических свойств, чтобы описать всеизвестные нам явления. Например, свойство тел при нагревеменять свои размеры характеризуется размерностью длинаделенная на температуру : L/T. Поэтому достаточно замеритьизменение размеров тела при изменении температуры. Обычнопри небольшом изменении температур, график этой зависимостиблизок к прямой линии, и зависимость называется линейной(помните, мы с вами проходили такие преобразования). Иначеговоря длина тела меняется пропорционально изменению еготемпературы. В таком случае расширение тел описываетсялинейным уравнением с постоянным коэффициентом тепловогорасширения (он является коэффициентом пропорциональности), сразмерностью L/T. Для большинства известных материалов такиекоэффициенты измерены и их можно найти в справочниках.
Посмотрим , как вычисляется ускорение. Расстояние измеряется вкилометрах, метрах, сантиметрах, миллиметрах и так далее. Допустим мы выбрали сантиметры. Следовательно размерностьрасстояния, длина, у нас будет записываться в сантиметрах. Времяможет измеряться в часах, минутах, секундах. Пусть мы сталииспользовать секунды. Тогда размерность скорости, длина/время, в нашем случае запишем, как сантиметр в секунду: см/сек. Например, наблюдаемая тележка в начальный момент времениt1=0 sec имела скорость 0 см/сек. Предположим она ускориласьдо скорости v2= 6см/сек к моменту времени t2= 2 сек. Значит еёускорение было a= (v2-v1)/(t2-t1)= (6см/сек-0см/сек)/(2сек-0сек)= 6 см/сек / 2 см/сек = 6/2 см/(сек*сек)= 3 см/(сек*сек). Произведение сек*сек это секунда в квадрате: сек2. Соответственно ускорение можно записать так: а= 3 см/сек2, илииспользуя обозначения Basic, a = 3 см/сек^2.
Как мы уже много раз говорили, запись физической величинывсегда состоит из двух частей. Первая- это число. Вторая- размерность, точнее единица измерения представляющаяразмерность этой физической величины. Единицами измерениямогут быть километры, метры, секунды, градусы и т.д.. Условно, физические величины можно представлять, как произведениечисла на размерность, а конкретнее, числа на единицу измеренияразмерности. Но знак умножения при этом умалчивается. Поэтому когда мы делим одну физическую величину на другую, томы делим не только числа, а всё произведение числа наразмерность на другое число, и на его размерность. Аналогичнопри произведении физических чисел перемножаются сами числаи их размерности. При сложении или вычитании двух физическихвеличин, их размерности должны быть одинаковыми. Ведь мыможем складывать и вычитать яблоки только из яблок, но неяблоки из апельсин. Согласно правилу дистрибутивногоумножения, размерность можно вынести за скобку. Например, машина проехала сначала 10 км, а затем ещё 3 км. Полныйпройденный путь равен 10км +3км = (10+3)км= 13км.
Поскольку размерность в каждом конкретном измерениизаписывается с помощью единиц измерения, часто эти понятия неразличают, но всегда помнят, что у одной и той же размерностиможет быть много разных единиц измерения. Например уразмерности «длина» единицами измерения могут бытькилометры, метры, сантиметры, миллиметры, микрометры илимикроны, нанометры., Ангстремы. И поэтому, когда говорят илипишут, что размерность величины равна сантиметру, подразумевается, что на самом деле её размерность- длина.
Задача 1.
В примере на вычисление ускорения, мы использовали единицыизмерений сантиметры и секунды. А какая величина ускорения, размерность и единицы измерения будут в случае, если мы применим миллиметры и секунды (в этом случае у нас будут скорости v1= 0мм/сек и v2= 60мм/сек)?
Из опытов на видео 1, и нашего повседневного опыта для нас очевидно, что ускорение a растет пропорционально силе F, с которой мы действуем на тело. Т.е. чем больше сила, тем больше ускорение. Из видео 1 и 2б можно предположить, что чем больше масса, тем меньше ускорение a. В таком случае говорят, что ускорение обратно пропорционально массе тела m. Эти два утверждения можно записать математически как
a= F/m .
Отсюда получаем
F= m*a .
Это уравнение называется законом Ньютона.
Когда вы играли в «гонки» на клетчатой бумаге, то скорость вашего автомобиля обозначалась вектором. Как помните у каждого такого вектора есть начало, длина равная величине скорости и направление в котором этот вектор откладывается. Поэтому используется стрелочка, которая указывает это направление движения. В жизни скорость любого предмета тоже вектор. Т.е. скорость говорит нам не только сколько метров мы проехали за секунду, или километров за час, но еще указывает направление, в котором мы ехали. Поэтому правильно записывать скорость как вектор v (из-за особенностей редактора форума, вектора будут обозначаться красными буквами, как v ). Время неявляется вектором, поскольку у него нет направления движения впространстве. Говорят, что время скалярная величина. Обратитевнимание, что когда Вы едите в машине, то спидометрпоказывает только величину Вашей скорости. Направлениедвижение Вы определяете сами. Ускорение является разницей двух векторов. Значит оно тоже вектор: a= (v2-v1)/(t2-t1).
Что такое вектор? Сделаем небольшое путешествие в страну Геометрию, а заодно вспомним игру «Гонки» на клетчатой бумаге. Вы уже знакомы с векторами. Вы их использовали в этой игре. Там скорость машин — это вектора.
Складываются и вычитаются вектора очень просто. Например, для сложения двух векторов b и c надо поступать так же, как это делается в «Гонках». Сначала, из выбранной начальной точки движения ( назовем её точка А) отложим вектор b . Затем из конца вектора b отложим вектор c (Рис.3а). Точку в которуюпопадает конец вектора c назовем т.С . Тогда суммарное перемещение очевидно будет вектором AC . Поэтому AC = b + c . Обратите внимание AC = b + c = c + b . Если мы построим b + c и c + b то получим параллелограмм ABCD (Рис.3б).
Поэтому говорят, что для того чтобы найти сумму двух векторов надо пользоваться правилом параллелограмма. Чтобы неперепутать, какая из двух диагоналей параллелограмма есть сумма , нужно заметить, что все три вектора b , c и AC на рисунке 3б исходят из одной и той же точки. Верно и обратное. Любой вектор можно представить в виде суммы двух векторов. Для этогонадо только нарисовать параллелограмм с диагональю равной вектору. Тогда стороны будут те два вектора, которые в суммедадут исходный.
Рис.3. Нахождение суммы и разницы двух векторов: а) AC = b + c ; б) сумма AC = b + c = c + b представленапараллелограммом ABCD ; в) AF= b - c ; г) DB = b - c = AF .
Для того чтобы найти разницу двух векторов b - c , надо сначаланайти вектор - c . Очевидно, что его длина (модуль) должна бытьравна вектору c , а вот направление должно противоположным, ведь должно быть c +(- c ) = 0. Построив вектор - c , найдем теперь его сумму с вектором - b : b + (- c ) = b - c = AF. (Рис.3 с). Этот же результат мы можем получить если построим опять параллелограмм ABCD, но вместо вектора c , возьмём вектор - c . Тогда b + (- c ) = b - c = DB. Т.е. если вектор-диагональ AC был вектором суммы векторов b + c , то другая диагональ AF того же параллелограмма ABCD есть разница b - c (Рис. 3d). Примечание: DB = AF, так как двавектора называются одинаковыми, если их длины равны, инаправления одинаковы.
Делить вектор на любое число очень просто. Например пусть нам дан вектор m и нам надо поделить его на 3. Тогда вектор последеления k = m /3 будет иметь тоже направление, что и вектор m , а его длина равна 1/3 от длины вектора m (Рис.4а). Аналогичностроится вектор полученный умножением на любое число. Например на Рис.4б построен вектор f , который в два разабольше вектора f = 2*m .
Теперь, если Вы знаете скорости v2 и v1 в моменты времени t2 иt1, то можете легко найти и ускорение a пользуясь формулой a= (v2-v1)/(t2-t1).
Рис.4. а) k =AK = AM/3= m /3 ; б) f = AF = 2* AM = 2*m .
Итак, сила, скорость, и ускорение это векторные величины.
Вы также знаете, что сила, действующая на тело , масса тела и ускорение, которое тело приобретает в результате действия силы связаны законом Ньютона:
F= m*a
То же самое уравнение можно переписать в другом, более общемвиде:
F= m*a=m* (v2-v1)/(t2-t1)=(m*v2 - m*v1)/(t2-t1)
Существуют разные силы: гравитационные, например сила притяжения Земли, электрические, магнитные, силы упругости, силы трения и т. д.. Наше знакомство с ними мы начнем с гравитационной. Что такое гравитационные силы? Оказывается, любые два тела имеющие хоть какую массу притягиваются друг кдругу с силой, которая прямо пропорциональна массе каждого из тел. Эта сила называется гравитационной. Ещё гравитационная сила зависит от расстояния между телами. Обозначим это расстояние переменной r. Гравитационная сила убывает с ростом расстояния между телами как (1/r)*(1/r) = 1/r2 . Для того чтобы мы смогли почувствовать эту силу надо, чтобы одно из тел имелоочень большую массу, хотя бы близкую к массе Луны (масса Луны около 7*1023 кг ( в обозначениях Basic это записывается как 7Е23 кг или 7*10^23 кг) и мы находились на поверхности этого тела, т. е. расстояние между нами было бы минимально возможным.
Если бы тело было материальной точкой, то и в этом случае при расстоянии до неё в 1 метр (приблизительно на расстоянии вытянутой руки) её масса должна была бы быть порядка 1Е9 кг. Чтобы представить себе эту массу, надо взять двадцать стальных мостов, таких как самый тяжелый мост в мире, австралийский Sydney Harbour Bridge. И затем их надо спрессовать в шарик диаметром не более 1м. На этом фото он был бы трудно различимой точкой, размером раза в два меньше высоты окон в зданиях.
Рис.5. Австралийский Сидней и самый большой в мире стальноймост Sydney Harbour Bridge.
Тел с такой плотностью вокруг нас нет (плотностью вещества называется масса вещества взятого в виде кубика с сторонами единичной длины. Например, масса кубика с стороной в 1метр. При этом массу обычно меряют в кг. Если бы взяли кубик с сторонами в 1 см, то тогда его массу лучше мерить в граммах). Поэтому все тела вокруг нас с огромной массой имеют огромные размеры.
Ближайшие тела вокруг нас подходящие для того, чтобы обнаружить гравитационную силу - наша Земля, Луна, и Солнце. При этом влияние Земли на нас значительно превышает влияниеЛуны. Влияние Луны сказывается на морских приливах и отливах, потому что масса воды в океанах много больше нашей. Но для нас сила притяжения Луны не существенна из-за огромного расстояния (около 3.8Е8м) между нами. Для взрослого человека сила притяжения со стороны Луны около 0.3 грамма. Влияние Солнце ещё меньше по двум причинам. Во-первых оно очень далеко от нас (1.5Е11 м или около 400 расстояний от Земли до Луны), а гравитационная сила быстро уменьшается с ростом расстояния. Но из-за огромной массы Солнца (почти 333 тысячмасс Земли), оно все равно притягивает нас. На взрослого человека это действовало бы с силой равной весу 60 грамм. Но мы не чувствуем и этого из-за второй причины. Вторая причина- Земля и мы вместе с ней вращаемся очень быстро вокруг Солнца(30 км/сек много быстрее, чем скорости при запуске космическихракет ~8 км/сек). Для нас Солнце, как для космонавтов Земля. Земля притягивает космонавтов, но за счет быстрого вращениявокруг Земли, на них действует центробежная сила, как на бельёв быстро вращающейся центрифуге сушильной машины. Эти две силы уравновешивают друг друга, и космонавты ощущают невесомость. Разница между нами и космонавтами вращающимися вокруг Земли, только в том, что скорость нашего вращения еще больше. И если бы не притяжение Земли, т. е. если бы не было Земли, а наша скорость вращения оставалась прежней, то мы бы улетели от Солнца, как кометы. Земля же неулетает от Солнца, поскольку её масса много больше нашей. Соответственно и сила притяжения между Солнцем и Землейдостаточно огромна, чтобы удерживать Землю, и нас вместе сней, вокруг Солнца.
Познакомимся поподробнее с главной для нас гравитационной силой - с силой притяжения Земли. Из её названия следует, что сэтой силой притягиваются все тела к Земле. Записывается она так:
F= m*g
Из формулы видно, чтобы вычислить силу притяжения, надо знатьмассу тела и ускорение g. Оказывается, что ускорение g независит от массы тела, и его величина вблизи поверхности Землиравно всегда 9.8 м/сек2. Чтобы убедится в этом посмотрим скакой скоростью падают тела разной массы, при условии чтосилой трения о воздух можно пренебречь:
Видео 6
Видео 6. Падение тел разной массы. Видео 6а-6i демонстрируетразницу масс деревянного и свинцового груза. Видео 6jпоказывает свободное падение грузов с разной массой.
Таким образом, зная массу тел, мы всегда можем вычислить силупритяжения Земли действующую на тело. Но верно и обратное: знаю силу притяжения, можно найти массу тела.
Но как померить силу притяжения Земли?
По влиянию оказываемому силой притяжения на опоры иподвесы. Именно на этом принципе построены все весы. Рассмотрим сначала простые рычажные весы:
Рис. 6. Рычажные весы
Из правила Архимеда, мы знаем, что в случае равновесия:
m1*r1= m2*r2
Домножим обе стороны уравнения на g. Получим
m1*r1*g= m2*r2* g
m*g это сила притяжения Земли. Следовательно можно записать
r1*F1= r2* F2
Это уравнение ещё называют уравнением рычага, илиуравнением Архимеда для рычага. Мы пока его вывели толькодля случая, когда сила направлена перпендикулярно к рычагу. Происхождение силы здесь не важно. Это может быть и сила, которую прикладываете вы, или какой-нибудь механизм. Но покабудем говорить о силе притяжения.
Напомню, что из равенства
m1*r1= m2*r2
в случае r1= r2, получим
m1= m2
Это известное уравнение, которое используется для измерениямассы тел путем сравнения его с массой эталона. Аналогичнымобразом , только из уравнения
r1*F1= r2* F2
при равенстве рычагов r1 и r2 следует равенство сил F1= F2, чтоможно использовать для сравнения сил между собой.
Сила, с которой тело действует на опору или подвес за счет силы тяжести, называется весом и обычно обозначается вектором P. Тело в невесомости имеет массу, но не имеет веса. Т.е. оно недавит на опору или подвес.
Обратите внимание на проекции сил на оси ОХ и ОY (Рис.6).Поскольку силы притяжения направлены вдоль вертикали, то проекция их на ось ОХ будет точка. Как мы знаем длина точки равна 0. Поэтому проекции сил тяжести F на ось ОХ в обоихслучаях равны 0:
F1х = 0
F2х = 0
В тоже время проекции на OY будут векторы равные самимсилам:
F1y = m1*g=F1
F2y = m2*g =F2
В случае, если бы сила притяжения не была параллельна оси ОYи ОХ, мы бы имели две не равные нулю проекции силы тяжестина оси OX и OY. Но в любом случае было бы
F = Fх + Fy
Это является следствием разложения сил по правилампараллелограмма. Только в случае Декартовых координат, параллелограмм будет прямоугольником. Мы будем частопользоваться таким разложением.
Задача 2 (обязательная).
С помощью Видео 2 определите ускорения в трех случаях. Для замедленной съёмки время в видео в 4 раза меньше реального времени.